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      高等代數2021年考試大綱

      發布時間:2020-09-24   閱讀: 8241次

      適用于數學一級學科碩士研究生招生入學考試。要求考生熟悉高等代數的基本概念、掌握基本定理與方法、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。考查的知識要點如下:

      1.多項式:數域概念,一元多項式運算法則;帶余除法定理,最大公因式概念及求法(輾轉相除法);不可約多項式概念和因式分解唯一性定理;重因式、余數定理,零點()定理;復/實系數多項式的因式分解定理;有理系數多項式、整系數多項式和本原多項式的概念、性質及相互關系,整系數多項式的有理根的求法,Eisenstein判別法 

      2行列式:排列及對換的概念,排列奇偶性的概念及判定;行列式的定義、性質及計算方法;行列式按一行(列)展開,代數余子式,范德蒙德(Vandermonde)行列式;矩陣的定義和初等行、列變換,矩陣與行列式的區別;克拉默(Cramer)法則及應用。

      3線性方程組:線性方程組的高斯(Gauss)消元法;向量空間、線性相關、線性無關的概念與性質;矩陣的k級子式,矩陣秩的定義、性質及求法,向量組的極大線性無關組的求法;線性方程組有解的判定、線性方程組解的結構。

      4矩陣:矩陣的基本運算,矩陣乘積的行列式與秩;矩陣的逆的定義、性質及求法;矩陣分塊的概念和分塊矩陣的運算,初等矩陣、初等變換與矩陣的秩,分塊乘法的初等變換及應用。  

      5.二次型:二次型的矩陣表示,矩陣的合同關系,對稱矩陣的概念和性質;用非退化線性變換化二次型為標準形,實、復二次型的規范型,慣性定理與慣性指數;正定、半正定二次型的概念、性質及判別方法。

      6線性空間集合、映射的定義與運算性質;線性空間的定義與簡單性質;維數、基與坐標的概念和性質,基變換與坐標變換;線性子空間的概念和性質,子空間的交與和的概念及性質,子空間的直和的定義及判別準則;線性空間的同構,同構映射的概念和性質。

       

      7線性變換線性變換的定義、運算及其簡單性質;線性變換的矩陣及其性質;矩陣的相似關系的定義及其性質;特征多項式、特征值與特征向量的定義、性質及計算;線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的條件(即矩陣相似于對角矩陣的條件);線性變換的值域與核的概念及性質;不變子空間的概念,不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系;若當(Jordan)標準形的概念及應用;最小多項式的概念和性質及求法。

      8λ-矩陣λ-矩陣的定義及其秩、逆和初等變換;λ-矩陣在初等變換下的標準形;行列式因子、不變因子和初等因子的定義、性質及求法;矩陣相似的條件;復矩陣若當(Jordan)標準形的計算。

      9歐幾里得空間歐幾里得空間(含內積)的定義與基本性質;歐幾里得空間中基的度量矩陣,正交向量組、正交基、標準正交基的定義、基本性質及相互關系,施密特正交化方法;歐幾里得空間的同構;正交變換、正交矩陣的定義和性質;子空間的正交關系;對稱變換、實對稱矩陣的性質及其標準形的求法;酉空間的概念和性質。

      參考書目:北京大學數學系前代數小組編,王萼芳,石生明修訂,高等代數(第五版),高等教育出版社,20195月。



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