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      數學分析2021年考試大綱

      發布時間:2020-09-24   閱讀: 10751次

          適用于數學一級學科碩士研究生招生入學考試。重點考核學生對數學分析的基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧的掌握與運用能力。考查的知識要點如下:

      1.集合與映射:集合與映射的概念及運算,一元函數的概念,初等函數,復合函數,函數的分段表示,隱式表示,參數表示,函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性,三角不等式與均值不等式。

      2.數列的極限: 實數系,最大數與最小數,上確界與下確界的概念,實數系的連續性,數列極限的定義, 數列極限的性質 ,數列極限的四則運算法則, 無窮小量與無窮大量的概念,Stolz定理, 單調有界數列必有極限 ,閉區間套定理 ,Bolzano-Weierstrass定理 ,Cauchy收斂原理。

      3.函數極限與連續函數:函數極限的概念、性質和四則運算法則,函數極限與數列極限的關系,單側極限,函數極限定義的擴充,連續的概念,連續函數的四則運算法則,不連續點的類型,反函數的連續性,復合函數的連續性,初等函數的連續性,閉區間上連續函數的性質(有界性定理, 最值定理,介值定理,零點存在定理,一致連續概念,Cantor定理.)。

      4.導數:導數的概念,幾何意義,基本初等函數的求導公式,求導的四則運算法則,反函數的導數,復合函數的導數,用參數方程表示的函數的求導法,可導與連續的關系,微分的概念及四則運算法則,復合函數的微分,一階微分形式的不變性,高階導數、高階微分的概念,高階導數的運算法則,一些簡單函數的高階導數、高階微分。

      5.微分中值定理及應用: 羅爾定理、Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,L’Hospital法則,Taylor公式,一元函數單調性的概念及判別,極值的概念及求法,函數的最值的求法,函數圖形的凹凸性和拐點,漸近線的概念及求法,函數圖形的描繪。

      6.不定積分:不定積分的概念,不定積分的基本公式及運算法則,換元法,分部積分法,有理函數的積分,三角函數有理分式的積分。

      7.定積分:定積分的概念,Darboux大和與Darboux小和的概念,Riemann可積的充分必要條件,可積函數類( 連續函數,只有有限個間斷點的函數,單調有界函數),定積分的基本性質,積分第一中值定理,基本積分不等式,Newton-Leibniz 公式,定積分的換元法與分步積分法,定積分的應用。

      8.反常積分:反常積分收斂和發散的概念,Cauchy收斂原理,比較判別法,Cauchy判別法,積分第二中值定理,Abel判別法,Dirichlet判別法,Cauchy積分主值的概念及計算。

      9.數項級數:數項級數的收斂與發散的概念,級數的基本性質,Cauchy收斂準則,正項級數的收斂原理及判別法(比較判別法,Cauchy判別法,D’Alembert判別法,積分判別法),交錯級數,Leibniz判別法,絕對收斂與條件收斂概念, Abel變換,Abel判別法,Dirchlet 判別法, 絕對收斂級數的性質。

      10. 函數項級數: 一致收斂的概念及性質(和函數連續性,逐項求導,逐項求積),一致收斂的判別法(Weiezstzass判別法,Abel判別法,Dirichlet判別法),Dini定理),冪級數的收斂半徑,冪級數的性質(連續性,逐項求導,逐項求積),函數的冪級數展開,用多項式逼近連續函數。

      11. 歐幾里得空間上的極限和連續: 歐幾里得空間上的距離與極限,開集、閉集、緊集的概念,歐幾里得空間上的基本定理,多元函數極限的概念及性質,累次極限,多元連續函數的概念及性質,緊集上連續函數的性質。

      12. 多元函數的微分學:偏導數和全微分的概念,可微與可導、可微與連續的關系,高階偏導數,高階全微分的概念及計算,多元復合函數求導的鏈式法則,一階微分形式的不變性,中值定理與Taylor公式,隱函數的存在性,反函數的存在性,隱函數的導數,空間曲線的切線與法平面,空間曲面的切平面與法線,多元函數的極值及其求法,條件極值的概念及求法。

      13. 重積分:重積分的概念及性質,二重積分的計算(直角坐標,極坐標及一般的坐標變換)及應用,三重積分的計算(三重積分化為累次積分,直角坐標、柱面坐標、球面坐標及一般換元法),反常重積分收斂與發散的概念及判別。

      14. 曲線積分與曲面積分:第一類曲線積分與第一類曲面積分的概念、性質及計算,第二類曲線積分與第二類曲面積分的概念、性質及計算,Green公式,平面曲線積分與路徑無關性,Gauss公式,Stokes公式。

      15. 含參變量的積分:含參變量的常義積分的概念及性質(連續性,積分號下求導,積分次序的交換),含參變量反常積分一致收斂的概念及性質(連續性,積分號下求導數,積分次序的交換),一致收斂判別法,B函數,Г函數,Stirling公式。

      16. Fourier級數:函數的Fourier級數展開,Fourier級數的收斂判別法,Fourier級數的分析性質與逼近性質。

      參考書目:

      陳紀修,於崇華,金路,數學分析(第二版),高等教育出版社,2004


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